ఈ ప్రచురణలో, గాస్సియన్ పద్ధతి ఏమిటి, అది ఎందుకు అవసరం మరియు దాని సూత్రం ఏమిటో మేము పరిశీలిస్తాము. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి పద్ధతిని ఎలా అన్వయించవచ్చో కూడా మేము ఆచరణాత్మక ఉదాహరణను ఉపయోగించి ప్రదర్శిస్తాము.
గాస్ పద్ధతి యొక్క వివరణ
గాస్ పద్ధతి అనేది పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ యొక్క శాస్త్రీయ పద్ధతి. దీనికి జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్ (1777-1885) పేరు పెట్టారు.
అయితే ముందుగా, SLAU చేయగలదని గుర్తుచేసుకుందాం:
- ఒకే పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండండి;
- అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి;
- అననుకూలంగా ఉండండి, అంటే పరిష్కారాలు లేవు.
ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాలు
మూడు కంటే ఎక్కువ సరళ సమీకరణాలు, అలాగే చతురస్రాకారంలో లేని వ్యవస్థలను కలిగి ఉన్న SLAEని పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతి ఒక గొప్ప మార్గం.
గాస్ పద్ధతి యొక్క సూత్రం
పద్ధతి క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:
- నేరుగా – సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా వృద్ధి చెందిన మాతృక, అడ్డు వరుసల ఎగువన ఎగువ త్రిభుజాకార (స్టెప్డ్) రూపానికి తగ్గించబడుతుంది, అనగా ప్రధాన వికర్ణంలో సున్నాకి సమానమైన మూలకాలు మాత్రమే ఉండాలి.
- తిరిగి – ఫలిత మాతృకలో, ప్రధాన వికర్ణం పైన ఉన్న మూలకాలు కూడా సున్నాకి సెట్ చేయబడతాయి (తక్కువ త్రిభుజాకార వీక్షణ).
SLAE పరిష్కారం ఉదాహరణ
గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దిగువ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం.
సొల్యూషన్
1. ప్రారంభించడానికి, మేము SLAEని విస్తరించిన మాతృక రూపంలో ప్రదర్శిస్తాము.
2. ఇప్పుడు మా పని ప్రధాన వికర్ణం క్రింద అన్ని మూలకాలను రీసెట్ చేయడం. తదుపరి చర్యలు నిర్దిష్ట మాతృకపై ఆధారపడి ఉంటాయి, క్రింద మేము మా కేసుకు వర్తించే వాటిని వివరిస్తాము. మొదట, మేము అడ్డు వరుసలను మార్చుకుంటాము, తద్వారా వాటి మొదటి మూలకాలను ఆరోహణ క్రమంలో ఉంచుతాము.
3. రెండవ వరుస నుండి రెండుసార్లు మొదటిది, మరియు మూడవది నుండి తీసివేయండి - మొదటిది మూడు రెట్లు.
4. రెండవ పంక్తిని మూడవ పంక్తికి జోడించండి.
5. మొదటి పంక్తి నుండి రెండవ పంక్తిని తీసివేయండి మరియు అదే సమయంలో మూడవ పంక్తిని -10 ద్వారా విభజించండి.
6. మొదటి దశ పూర్తయింది. ఇప్పుడు మనం ప్రధాన వికర్ణం పైన శూన్య మూలకాలను పొందాలి. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి అడ్డు వరుస నుండి 7 ద్వారా గుణించిన మూడవదాన్ని తీసివేయండి మరియు మూడవది 5 ద్వారా గుణించిన రెండవదానికి జోడించండి.
7. చివరి విస్తరించిన మాతృక ఇలా కనిపిస్తుంది:
8. ఇది సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది:
సమాధానం: రూట్ SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.