ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఏమిటి

ఈ ప్రచురణలో, మేము గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రధాన భావనలలో ఒకదాన్ని పరిశీలిస్తాము - ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి: దాని నిర్వచనం, అలాగే ఆచరణాత్మక ఉదాహరణలతో వివిధ పరిష్కారాలు.

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని నిర్ణయించడం

ఫంక్షన్ పరిమితి - ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ దాని ఆర్గ్యుమెంట్ పరిమితి బిందువుకు మొగ్గు చూపినప్పుడు దాని విలువను కలిగి ఉంటుంది.

పరిమితి రికార్డు:

• పరిమితి చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది లిమ్;
• ఫంక్షన్ యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ (వేరియబుల్) ఏ విలువను కలిగి ఉందో దాని క్రింద జోడించబడింది. సాధారణంగా ఇది x, కానీ అవసరం లేదు, ఉదాహరణకు:x→1″;
• అప్పుడు ఫంక్షన్ కుడి వైపున జోడించబడుతుంది, ఉదాహరణకు:

  

కాబట్టి, పరిమితి యొక్క తుది రికార్డు ఇలా కనిపిస్తుంది (మా విషయంలో):

వంటి చదువుతుంది "x ఐక్యతను కలిగి ఉన్నందున ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి".

x→ 1 - దీని అర్థం “x” స్థిరంగా ఐక్యతను చేరుకునే విలువలను తీసుకుంటుంది, కానీ దానితో ఎప్పటికీ ఏకీభవించదు (అది చేరుకోదు).

నిర్ణయ పరిమితులు

ఇచ్చిన సంఖ్యతో

పై పరిమితిని పరిష్కరిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్‌లో యూనిట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి (ఎందుకంటే x→1):

కాబట్టి, పరిమితిని పరిష్కరించడానికి, మేము మొదట ఇచ్చిన సంఖ్యను దాని క్రింద ఉన్న ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము (x నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపినట్లయితే).

అనంతం తో

ఈ సందర్భంలో, ఫంక్షన్ యొక్క వాదన అనంతంగా పెరుగుతుంది, అనగా, "X" అనంతం (∞) వైపు మొగ్గు చూపుతుంది. ఉదాహరణకి:

If x→∞, అప్పుడు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ మైనస్ అనంతానికి (-∞) ఉంటుంది, ఎందుకంటే:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 మొదలైనవి.

మరొక క్లిష్టమైన ఉదాహరణ

ఈ పరిమితిని పరిష్కరించడానికి, విలువలను కూడా పెంచండి x మరియు ఈ సందర్భంలో ఫంక్షన్ యొక్క "ప్రవర్తన" చూడండి.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

అందువలన, కోసం "X"అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, ఫంక్షన్ x² + 3x - 6 నిరవధికంగా పెరుగుతుంది.

అనిశ్చితితో (x అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది)

ఈ సందర్భంలో, మేము పరిమితుల గురించి మాట్లాడుతున్నాము, ఫంక్షన్ ఒక భిన్నం అయినప్పుడు, లవం మరియు హారం బహుపదిలు. ఇందులో "X" అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది.

ఉదాహరణ: దిగువ పరిమితిని గణిద్దాం.

సొల్యూషన్

న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోని వ్యక్తీకరణలు అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతాయి. ఈ సందర్భంలో పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంటుందని భావించవచ్చు:

అయితే, ప్రతిదీ అంత సులభం కాదు. పరిమితిని పరిష్కరించడానికి మేము ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:

1. కనుగొనండి x న్యూమరేటర్ కోసం అత్యధిక శక్తికి (మా విషయంలో, ఇది రెండు).

2. అదేవిధంగా, మేము నిర్వచించాము x హారం కోసం అత్యధిక శక్తికి (రెండుకు కూడా సమానం).

3. ఇప్పుడు మనం న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజిస్తాము x సీనియర్ డిగ్రీలో. మా విషయంలో, రెండు సందర్భాల్లో - రెండవది, కానీ అవి భిన్నంగా ఉంటే, మేము అత్యధిక డిగ్రీని తీసుకోవాలి.

4. ఫలిత ఫలితంలో, అన్ని భిన్నాలు సున్నాకి మొగ్గు చూపుతాయి, కాబట్టి సమాధానం 1/2.

అనిశ్చితితో (x నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది)

న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ బహుపదాలు, అయితే, "X" ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది, అనంతానికి కాదు.

ఈ సందర్భంలో, హారం సున్నా అనే వాస్తవాన్ని మేము షరతులతో మూసివేస్తాము.

ఉదాహరణ: క్రింద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి.

సొల్యూషన్

1. ముందుగా, సంఖ్య 1ని ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం "X". మేము పరిశీలిస్తున్న ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని పొందుతాము.

2. తరువాత, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కారకాలుగా విడదీస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మీరు సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు, అవి అనుకూలంగా ఉంటే, లేదా.

మా విషయంలో, న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణ యొక్క మూలాలు (2x² – 5x + 3 = 0) 1 మరియు 1,5 సంఖ్యలు. కాబట్టి, దీనిని ఇలా సూచించవచ్చు: 2(x-1)(x-1,5).

హారం (x–1) ప్రారంభంలో చాలా సులభం.

3. మేము అటువంటి సవరించిన పరిమితిని పొందుతాము:

4. భిన్నాన్ని దీని ద్వారా తగ్గించవచ్చు (x–1):

5. ఇది పరిమితి క్రింద పొందిన వ్యక్తీకరణలో సంఖ్య 1ని భర్తీ చేయడానికి మాత్రమే మిగిలి ఉంది: