విషయ సూచిక
ఈ ప్రచురణలో, మాతృక యొక్క ర్యాంక్ యొక్క నిర్వచనాన్ని, అలాగే దానిని కనుగొనే పద్ధతులను మేము పరిశీలిస్తాము. ఆచరణలో సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని ప్రదర్శించడానికి మేము ఉదాహరణలను కూడా విశ్లేషిస్తాము.
మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ని నిర్ణయించడం
మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ అడ్డు వరుసలు లేదా నిలువు వరుసల వ్యవస్థ యొక్క ర్యాంక్. ఏదైనా మాతృక దాని అడ్డు వరుస మరియు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది, అవి ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.
వరుస వ్యవస్థ ర్యాంక్ సరళ స్వతంత్ర వరుసల గరిష్ట సంఖ్య. కాలమ్ సిస్టమ్ యొక్క ర్యాంక్ ఇదే విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది.
గమనికలు:
- సున్నా మాతృక యొక్క ర్యాంక్ (చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది "θ") ఏదైనా పరిమాణం సున్నా.
- ఏదైనా నాన్ జీరో రో వెక్టర్ లేదా కాలమ్ వెక్టర్ ర్యాంక్ ఒకటికి సమానం.
- ఏదైనా పరిమాణం యొక్క మాతృక కనీసం సున్నాకి సమానం కాని ఒక మూలకాన్ని కలిగి ఉంటే, దాని ర్యాంక్ ఒకటి కంటే తక్కువ కాదు.
- మాతృక యొక్క ర్యాంక్ దాని కనీస పరిమాణం కంటే ఎక్కువ కాదు.
- మాతృకపై చేసిన ప్రాథమిక రూపాంతరాలు దాని ర్యాంక్‌ను మార్చవు.
మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనడం
చిన్న పద్ధతిని అంచు చేయడం
మాతృక యొక్క ర్యాంక్ నాన్ జీరో యొక్క గరిష్ట క్రమానికి సమానం.
అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంది: మైనర్‌లను అత్యల్ప ఆర్డర్‌ల నుండి అత్యధిక స్థాయి వరకు కనుగొనండి. మైనర్ అయితే nవ క్రమం సున్నాకి సమానం కాదు మరియు అన్ని తదుపరి (n+1) 0కి సమానం, కాబట్టి మాతృక యొక్క ర్యాంక్ n.
ఉదాహరణ
దీన్ని మరింత స్పష్టంగా చేయడానికి, ఒక ఆచరణాత్మక ఉదాహరణను తీసుకుందాం మరియు మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి A దిగువన, మైనర్‌లను సరిహద్దు చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించడం.
సొల్యూషన్
మేము 4 × 4 మాత్రికతో వ్యవహరిస్తున్నాము, కాబట్టి, దాని ర్యాంక్ 4 కంటే ఎక్కువగా ఉండకూడదు. అలాగే, మాతృకలో సున్నా కాని మూలకాలు ఉన్నాయి, అంటే దాని ర్యాంక్ ఒకటి కంటే తక్కువ కాదు. కాబట్టి ప్రారంభిద్దాం:
1. తనిఖీ ప్రారంభించండి రెండవ క్రమంలో మైనర్లు. ప్రారంభించడానికి, మేము మొదటి మరియు రెండవ నిలువు వరుసల యొక్క రెండు వరుసలను తీసుకుంటాము.
మైనర్ సున్నాకి సమానం.
అందువల్ల, మేము తదుపరి మైనర్‌కు వెళ్తాము (మొదటి కాలమ్ మిగిలి ఉంది మరియు రెండవదానికి బదులుగా మేము మూడవదాన్ని తీసుకుంటాము).
మైనర్ 54≠0, కాబట్టి మాతృక యొక్క ర్యాంక్ కనీసం రెండు.
గమనిక: ఈ మైనర్ సున్నాకి సమానం అయినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది కలయికలను మరింత తనిఖీ చేస్తాము:
అవసరమైతే, గణనను తీగలతో అదే విధంగా కొనసాగించవచ్చు:
- 1 మరియు 3;
- 1 మరియు 4;
- 2 మరియు 3;
- 2 మరియు 4;
- 3 మరియు 4.
సెకండ్-ఆర్డర్ మైనర్‌లందరూ సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది.
2. మేము దాదాపు వెంటనే మాకు సరిపోయే మైనర్‌ను కనుగొనగలిగాము. కాబట్టి మనం ముందుకు వెళ్దాం మూడవ క్రమంలో మైనర్లు.
సున్నా కాని ఫలితాన్ని అందించిన రెండవ ఆర్డర్‌లో కనుగొనబడిన మైనర్‌కు, మేము ఒక అడ్డు వరుస మరియు ఆకుపచ్చ రంగులో హైలైట్ చేసిన నిలువు వరుసలలో ఒకదాన్ని జోడిస్తాము (మేము రెండవది నుండి ప్రారంభిస్తాము).
మైనర్ జీరో అని తేలింది.
అందువల్ల, మేము రెండవ నిలువు వరుసను నాల్గవదిగా మారుస్తాము. మరియు రెండవ ప్రయత్నంలో, మేము సున్నాకి సమానం కాని మైనర్‌ని కనుగొనగలుగుతాము, అంటే మాతృక ర్యాంక్ 3 కంటే తక్కువ ఉండకూడదు.
గమనిక: ఫలితం మళ్లీ సున్నాగా మారినట్లయితే, రెండవ వరుసకు బదులుగా, మేము నాల్గవదాన్ని మరింత ముందుకు తీసుకెళ్లి, "మంచి" మైనర్ కోసం శోధనను కొనసాగిస్తాము.
3. ఇప్పుడు అది నిర్ణయించడానికి మిగిలి ఉంది నాల్గవ క్రమంలో మైనర్లు ఇంతకు ముందు కనుగొన్న దాని ఆధారంగా. ఈ సందర్భంలో, ఇది మాతృక యొక్క నిర్ణాయకానికి సరిపోలుతుంది.
మైనర్ 144≠0కి సమానం. మాతృక యొక్క ర్యాంక్ అని దీని అర్థం A 4కి సమానం.
మెట్రిక్స్‌ని స్టెప్డ్ ఫారమ్‌కి తగ్గించడం
స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క ర్యాంక్ దాని సున్నా కాని వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అంటే, మనం చేయాల్సిందల్లా మాతృకను తగిన రూపానికి తీసుకురావడం, ఉదాహరణకు, ఉపయోగించి , మేము పైన పేర్కొన్నట్లుగా, దాని ర్యాంక్‌ను మార్చదు.
ఉదాహరణ
మాతృక యొక్క ర్యాంక్‌ను కనుగొనండి B క్రింద. మేము మితిమీరిన సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను తీసుకోము, ఎందుకంటే మా ప్రధాన లక్ష్యం ఆచరణలో పద్ధతి యొక్క అనువర్తనాన్ని ప్రదర్శించడం.
సొల్యూషన్
1. ముందుగా, రెండవ పంక్తి నుండి రెట్టింపు చేసిన మొదటి దాన్ని తీసివేయండి.
2. ఇప్పుడు మూడవ వరుస నుండి మొదటి వరుసను తీసివేయండి, నాలుగు గుణించండి.
ఈ విధంగా, మేము ఒక స్టెప్ మ్యాట్రిక్స్‌ను పొందాము, దీనిలో సున్నా కాని అడ్డు వరుసల సంఖ్య రెండుకి సమానం, కాబట్టి దాని ర్యాంక్ కూడా 2కి సమానం.