సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం

ఈ ప్రచురణలో, మీరు సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని ఎలా తీసుకోవచ్చో మరియు వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉన్న వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ఇది ఎలా సహాయపడుతుందో కూడా మేము పరిశీలిస్తాము.

సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం

వర్గమూలం

మనకు తెలిసినట్లుగా, ప్రతికూల వాస్తవ సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవడం అసాధ్యం. కానీ సంక్లిష్ట సంఖ్యల విషయానికి వస్తే, ఈ చర్యను నిర్వహించవచ్చు. దాన్ని గుర్తించండి.

మన దగ్గర ఒక నంబర్ ఉందనుకుందాం z = -9. కోసం √-9 రెండు మూలాలు ఉన్నాయి:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా పొందిన ఫలితాలను తనిఖీ చేద్దాం z² =-9, అది మర్చిపోలేదు i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ నేను² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3 ఐ)² = 3² ⋅ నేను² = 9 ⋅ (-1) = -9

ఆ విధంగా, మేము నిరూపించాము -3 ఐ и 3i మూలాలు ఉంటాయి √-9.

ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలం సాధారణంగా ఇలా వ్రాయబడుతుంది:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i మొదలైనవి

n యొక్క శక్తికి మూలం

మనకు రూపం యొక్క సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి అనుకుందాం z = ⁿ√w… ఇది ఉంది n మూలాలు (z₀, యొక్క₁, యొక్క₂,…, z_n-1), ఇది క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

|w| సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యూల్ w;

φ - అతని వాదన

k విలువలను తీసుకునే పరామితి: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

సంక్లిష్ట మూలాలతో చతురస్రాకార సమీకరణాలు

ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని సంగ్రహించడం uXNUMXbuXNUMXb యొక్క సాధారణ ఆలోచనను మారుస్తుంది. వివక్ష ఉంటే (D) సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు నిజమైన మూలాలు ఉండకూడదు, కానీ వాటిని సంక్లిష్ట సంఖ్యలుగా సూచించవచ్చు.

ఉదాహరణ

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం x² – 8x + 20 = 0.

సొల్యూషన్

a = 1, b = -8, c = 20

డి = బి² – 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, కానీ మేము ఇప్పటికీ ప్రతికూల వివక్ష యొక్క మూలాన్ని తీసుకోవచ్చు:

√D =-16 = ±4i

ఇప్పుడు మనం మూలాలను లెక్కించవచ్చు:

x_1,2 = (-బి ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

కాబట్టి, సమీకరణం x² – 8x + 20 = 0 రెండు సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలను కలిగి ఉంది:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i