సంక్లిష్ట సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడం

ఈ ప్రచురణలో, సంక్లిష్ట సంఖ్యను శక్తికి ఎలా పెంచవచ్చో పరిశీలిస్తాము (De Moivre ఫార్ములాతో సహా). మంచి అవగాహన కోసం సైద్ధాంతిక పదార్థం ఉదాహరణలతో కూడి ఉంటుంది.

సంక్లిష్ట సంఖ్యను శక్తికి పెంచడం

ముందుగా, సంక్లిష్ట సంఖ్య సాధారణ రూపాన్ని కలిగి ఉందని గుర్తుంచుకోండి: z = a + bi (బీజగణిత రూపం).

ఇప్పుడు మనం నేరుగా సమస్య పరిష్కారానికి వెళ్లవచ్చు.

చదరపు సంఖ్య

మేము డిగ్రీని అదే కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు, ఆపై వాటి ఉత్పత్తిని కనుగొనవచ్చు (దానిని గుర్తుంచుకోవాలి i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

ఉదాహరణ XX:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

మీరు మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

గమనిక: అదే విధంగా, అవసరమైతే, భేదం యొక్క వర్గానికి సూత్రాలు, మొత్తం / వ్యత్యాసం యొక్క క్యూబ్ మొదలైనవాటిని పొందవచ్చు.

Nth డిగ్రీ

సంక్లిష్ట సంఖ్యను పెంచండి z రకమైన n ఇది త్రికోణమితి రూపంలో సూచించబడితే చాలా సులభం.

సాధారణంగా, సంఖ్య యొక్క సంజ్ఞామానం ఇలా కనిపిస్తుంది: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

ఎక్స్పోనెన్షియేషన్ కోసం, మీరు ఉపయోగించవచ్చు డి మోయివ్రే సూత్రం (ఇంగ్లీష్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అబ్రహం డి మోయివ్రే పేరు పెట్టారు):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

త్రికోణమితి రూపంలో వ్రాయడం ద్వారా సూత్రం పొందబడుతుంది (మాడ్యూల్స్ గుణించబడతాయి మరియు వాదనలు జోడించబడతాయి).

ఉదాహరణ 2

సంక్లిష్ట సంఖ్యను పెంచండి z = 2 ⋅ (కాస్ 35° + i ⋅ పాపం 35°) ఎనిమిదవ డిగ్రీకి.

సొల్యూషన్

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (280° + i sin 280°).