సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ

ఈ ప్రచురణలో, మేము సరళ బీజగణిత సమీకరణాల (SLAE) వ్యవస్థ యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిశీలిస్తాము, అది ఎలా కనిపిస్తుంది, ఏ రకాలు ఉన్నాయి మరియు విస్తరించిన దానితో సహా మాతృక రూపంలో దానిని ఎలా ప్రదర్శించాలి.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క నిర్వచనం

సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థ (లేదా సంక్షిప్తంగా "SLAU") అనేది సాధారణంగా ఇలా కనిపించే సిస్టమ్:

• m సమీకరణాల సంఖ్య;
• n అనేది వేరియబుల్స్ సంఖ్య.
• x₁, x₂,…, x_n - తెలియని;
• a₁₁,₁₂…, ఎ_mn - తెలియని వారికి గుణకాలు;
• b₁, బి₂,…, బి_m - ఉచిత సభ్యులు.

గుణకం సూచికలు (a_ij) ఈ క్రింది విధంగా ఏర్పడతాయి:

• i సరళ సమీకరణం యొక్క సంఖ్య;
• j గుణకం సూచించే వేరియబుల్ సంఖ్య.

SLAU పరిష్కారం - అటువంటి సంఖ్యలు c₁, సి₂,…, సి_n , ఇది బదులుగా సెట్టింగులో x₁, x₂,…, x_n, సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు గుర్తింపులుగా మారుతాయి.

SLAU రకాలు

1. సజాతీయ - సిస్టమ్‌లోని ఉచిత సభ్యులందరూ సున్నాకి సమానం (b₁ = బి₂ = … = బి_m = 0).

   

2. వైవిధ్యమైన - పైన పేర్కొన్న షరతు నెరవేరకపోతే.
3. స్క్వేర్ - సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వారి సంఖ్యకు సమానం, అనగా m = n.

   

4. తక్కువగా నిర్ణయించబడింది - సమీకరణాల సంఖ్య కంటే తెలియని వారి సంఖ్య ఎక్కువ.

   

5. భర్తీ చేయబడింది వేరియబుల్స్ కంటే ఎక్కువ సమీకరణాలు ఉన్నాయి.

   

పరిష్కారాల సంఖ్యపై ఆధారపడి, SLAE ఇలా ఉండవచ్చు:

1. జాయింట్ కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంది. అంతేకాకుండా, ఇది ప్రత్యేకంగా ఉంటే, వ్యవస్థను నిర్దిష్టంగా పిలుస్తారు, అనేక పరిష్కారాలు ఉంటే, దానిని నిరవధికంగా అంటారు.

   

   పైన ఉన్న SLAE ఉమ్మడిగా ఉంది, ఎందుకంటే కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంది: x = 2, y = 3.

2. అననుకూల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు.

   

   సమీకరణాల యొక్క కుడి వైపులా ఒకే విధంగా ఉంటాయి, కానీ ఎడమ వైపులా ఉండవు. అందువలన, పరిష్కారాలు లేవు.

సిస్టమ్ యొక్క మ్యాట్రిక్స్ సంజ్ఞామానం

SLAEని మాతృక రూపంలో సూచించవచ్చు:

AX = B

• A తెలియని వాటి గుణకాల ద్వారా ఏర్పడిన మాతృక:

  

• X - వేరియబుల్స్ కాలమ్:

  

• B - ఉచిత సభ్యుల కాలమ్:

  

ఉదాహరణ

మేము మాతృక రూపంలో దిగువ సమీకరణాల వ్యవస్థను సూచిస్తాము:

పైన ఉన్న ఫారమ్‌లను ఉపయోగించి, మేము గుణకాలు, తెలియని మరియు ఉచిత సభ్యులతో నిలువు వరుసలతో ప్రధాన మాతృకను కంపోజ్ చేస్తాము.

మాతృక రూపంలో ఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పూర్తి రికార్డు:

విస్తరించిన SLAE మ్యాట్రిక్స్

సిస్టమ్ యొక్క మాతృకకు ఉంటే A కుడివైపు ఉచిత సభ్యుల కాలమ్‌ను జోడించండి B, నిలువు పట్టీతో డేటాను వేరు చేస్తే, మీరు SLAE యొక్క పొడిగించిన మాతృకను పొందుతారు.

పై ఉదాహరణ కోసం, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

- పొడిగించిన మాతృక యొక్క హోదా.