ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతం

ఈ ప్రచురణలో, మేము పూర్ణాంకాల సిద్ధాంతంలోని ప్రధాన సిద్ధాంతాలలో ఒకదాన్ని పరిశీలిస్తాము -  ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతంఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పియరీ డి ఫెర్మాట్ పేరు పెట్టారు. మేము సమర్పించిన విషయాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి సమస్యను పరిష్కరించే ఉదాహరణను కూడా విశ్లేషిస్తాము.

సిద్ధాంతం యొక్క ప్రకటన

1. ప్రారంభ

If p ఒక ప్రధాన సంఖ్య a ద్వారా భాగించబడని పూర్ణాంకం pఅప్పుడు a^p-1 - 1 భాగించబడిన p.

ఇది అధికారికంగా ఇలా వ్రాయబడింది: a^p-1 ≡ 1 (వ్యతిరేకంగా p).

గమనిక: ప్రధాన సంఖ్య అనేది సహజ సంఖ్య, ఇది XNUMX ద్వారా మాత్రమే భాగించబడుతుంది మరియు శేషం లేకుండా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకి:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• సంఖ్య 15 భాగించబడిన 5 శేషం లేకుండా.

2. ప్రత్యామ్నాయం

If p ఒక ప్రధాన సంఖ్య, a ఏదైనా పూర్ణాంకం, అప్పుడు a^p పోల్చదగినది a మాడ్యులో p.

a^p ≡ ఎ (వ్యతిరేకంగా p)

ఆధారాలను కనుగొనే చరిత్ర

పియరీ డి ఫెర్మాట్ 1640లో సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించాడు, కానీ దానిని తాను నిరూపించుకోలేదు. తరువాత, దీనిని గాట్‌ఫ్రైడ్ విల్హెల్మ్ లీబ్నిజ్, ఒక జర్మన్ తత్వవేత్త, తార్కికుడు, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మొదలైనవారు చేసారు. 1683 నాటికి అతని వద్ద ఇప్పటికే రుజువు ఉందని నమ్ముతారు, అయితే ఇది ఎప్పుడూ ప్రచురించబడలేదు. ఇంతకుముందు సూత్రీకరించబడిందని తెలియక, లీబ్నిజ్ స్వయంగా సిద్ధాంతాన్ని కనుగొన్నాడు.

సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి రుజువు 1736లో ప్రచురించబడింది మరియు ఇది స్విస్, జర్మన్ మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు మెకానిక్ లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్‌కు చెందినది. ఫెర్మాట్ యొక్క లిటిల్ థియరం అనేది యూలర్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

సమస్య యొక్క ఉదాహరణ

మిగిలిన సంఖ్యను కనుగొనండి 2¹² on 12.

సొల్యూషన్

ఒక సంఖ్యను ఊహించుకుందాం 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి, ఫెర్మాట్ యొక్క చిన్న సిద్ధాంతం ద్వారా మనం పొందుతాము:

2¹¹ ≡ 2 (వ్యతిరేకంగా 11).

అందుకే, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (వ్యతిరేకంగా 11).

కాబట్టి సంఖ్య 2¹² భాగించబడిన 12 సమానమైన శేషంతో 4.